ローレンツ収縮のパラドックス



2015/01/12
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公開日 2002/3/8

ベルの宇宙船パラドックスを紹介します。

ベルの宇宙船パラドックス

物理学者のエドモンド・デューアンとマイケル・ベランは「二台のロケットのパラドックス」を1959年に提示しました。 物理学者のジョン・スチュアート・ベルが1987年に紹介したことから「ベルの宇宙船パラドックス」と呼ばれています。

一般的に、この思考実験は二台の宇宙船で説明します。 しかし、光速があまりにも速いため、その思考実験を想像することは困難です。 そこで、光速を秒速30ミリメートルと仮定します。

今、机の上に一匹のチョウの幼虫がいます。 全長は30ミリメートルです。

ローレンツ収縮

その幼虫が10秒間加速しました。 その速度は秒速24ミリメートルになりました。 幼虫の全長は何ミリメートルになるでしょうか?

ローレンツ収縮の公式は次のとおりです。

変数は L0 = 30mm、v = 24mm/s、c = 30mm/s です。 幼虫の全長を次のように計算します。

したがって、L = 18mm となります。 ローレンツ収縮により幼虫の全長は収縮します。

しかし、幼虫の運動系 S ' では、幼虫の全長は30ミリメートルです。

次に二匹のアリを机に置きます。 二匹のアリの間の長さは30ミリメートルです。

アリ

その二匹のアリが10秒間加速しました。 その二匹のアリは静止系 S で同じ時刻に加速を開始しました。 そして、その二匹のアリは静止系 S で同じ時刻に加速を終了しました。 その二匹のアリの速度は秒速24ミリメートルになりました。 その二匹のアリの間の長さは静止系 S でいくらでしょうか?

ある人は、ローレンツ収縮によって、二匹のアリの間の距離が 収縮するとお考えになるかもしれません。 しかし、二匹のアリの間の距離は静止系 S で収縮しません。 なぜなら、二匹のアリの加速の終了時刻が静止系 S で同じだからです。

加速度を適度に調整すれば、蟻は静止系 S で10秒間、 加速度 a=2.4mm/s2 で加速可能です。 静止系 S で時刻0秒の蟻Aの位置を0ミリメートルとします。 すると、時刻 t 秒の蟻Aの位置 x(t) は、次の式で表現できます。

上記の式を計算し、10秒後の蟻Aの位置を得ることができます。 それは、120 ミリメートルです。 一方、静止系 S で時刻0秒の蟻Bの位置を30 ミリメートルとすれば、 時刻 t 秒の蟻Bの位置 y(t) は、次の式で表現できます。

上記の式を計算し、10秒後の蟻Bの位置を得ることができます。 それは、150 ミリメートルです。 したがって、10秒後の二匹の蟻の間隔は30 ミリメートルとなります。 10秒後の二匹の蟻の速度は24mm/sです。その後、蟻はその速度を維持します。 そのため、静止系 S での蟻の間隔は、常に30 ミリメートルです。

次に、その二匹のアリに糸を取りつけます。 二匹のアリが加速するとき、なにが起きるでしょうか?

二匹のアリが加速するとき、糸が切れます。 ある人は、この結果を信じないかもしれません。 なぜなら、糸の長さが変わらないからです。 なぜ糸が切れるのでしょうか?

ベルの宇宙船パラドックス

アリ A の運動系 S ' を考えます。 アリ A が加速すると、アリ A の同時線が変わります。 そのため、アリBはアリAよりも早く加速を完了します。 このとき、アリBの速度はアリAの速度よりも速いです。 そのため、アリAが加速を完了するときに、 アリAとアリBの間隔はもっと長くなります。 アリ A の運動系 S ' で、間隔は50ミリメートルになります。そのため、糸が切れるのです。

静止系 S で糸の長さが変わらないため、静止系 S において、これは不思議な現象です。 なぜ糸が切れるのでしょうか? 実は、静止系 S での分子間力の距離が短くなったため、糸が切れるのです。

ミンコフスキー空間

ローレンツ収縮をミンコフスキー空間で説明します。

ミンコフスキー空間

ローレンツ変換は次のとおりです。

ここで変数 γβ は次のように定義しました。

変数は、v = 24mm/s、c = 30mm/s です。 ローレンツ変換を次のように計算します。

アリ Aの世界線は線Aです。 アリ Bの世界線は線Bです。 静止系 S の二匹のアリの間の距離は線分 OR です。 運動系 S ' の二匹のアリの間の距離は線分 OR ' です。

静止系 S の幼虫の全長は線分 OQ です。 運動系 S ' の幼虫の全長は線分 OQ ' です。 私は線分 PP ' と線分 QQ ' のクロス構造に注目したいと思います。 そのクロス構造がローレンツ変換の本質的な構造だと推測します。


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